Sadz vum Bayes

Dialegd: Schbaimarisch

Illuschdradzjon vum Sadz vum Bayes dursch Iwwalachachung vunde baide dem zugrundlischende Endschaidungsbääm bzw. Boomdiagromm.

De Sadz vum Bayes (a Forml vum Bayes odda Bayes-Theorem) bschraibd die B'rechnung vun b'dingde Wahschoinlischkaide unn isch vum englische Mademadiga Thomas Bayes erschdmols fan Schbezialfall inde 1763 noch soim Dod vaeffendlischde Abhondlung An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances bschriwwe worre.

De Sadz

Midde B'griff

$P(A\mid B)$ isch die (b'dingd) Wahschoinlischkaid vun Eraignisse $A$ unnade B'dingung, dass des Eraigniss $B$ oig'drede isch.

$P(B\mid A)$ sinn die (bedingte) Wahschoinlischkaide vum Eraigniss $B$ unnade B'dingung, dass des Eraigniss$A$ oig'drede isch.

$P(A)$ isch die A-priori-Wahschoinlischkaid vum Eraignis $A$.

$P(B)$ isch die A-priori-Wahschoinlischkaid vum Eraigniss $B$.

gild fa zwee Eraigniss $A$ unn $B$ midd $P(B)>0$, dass die Wahschoinlischkaid vun $A$ unnade B'dingung, dass $B$ oig'drede isch, alla $P(A\mid B)$, durch die Wahschoinlischkaid vun $B$ unnade B'dingung, dass $A$ oig'drede isch, midd

$P(A\mid B)\;=\;{\frac {P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}}$.

ausreschne konn.

Des komma uff viele Eraigniss $A_{i}$, $i=1,\dotsc ,n$ va'allg'moinare. Wonn die Eraignissmeng $\Omega =\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$ vundene viele Eraigniss $A_{i}$ in disjungde Eraigniss $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i\neq j$ zaleschd werre konn (alla uff gud daidsch kennen kä zwee Eraigniss $A_{i},A_{j}$ g'moinsom oidrede) uns weschem Sadz vunde totale Wahschoinlischkaid $P(B)=\sum _{j=1}^{N}P\left(B\mid A_{j}\right)\cdot P(A_{j})$ gild, donn komma die A-posteriori-Wahschoinlischkaide $P(A_{i}\mid B)$ midd

$P(A_{i}\mid B)\;=\;{\frac {P(B\mid A_{i})\cdot P(A_{i})}{P(B)}}\;=\;{\frac {P\left(B\mid A_{i}\right)\cdot P(A_{i})}{\sum _{j=1}^{N}P\left(B\mid A_{j}\right)\cdot P(A_{j})}}$.

ausreschne.

Owendung

Middm Sadz vum Bayes komma ausm b'konnde Werd vun $P(B\mid A)$ de Werd vun $P(A\mid B)$ ausreschne, womma die A-ariori-Wahschoinlischkaide $P(A)$ unn $P(B)$ kennd. Äna vunde haifigschde Deng'gfehla, de Prävalenzfehla, isches diregt vun $P(A\mid B)$ uff $P(B\mid A)$ zu schliesse, alla die A-ariori-Wahschoinlischkaide $P(A)$ unn $P(B)$ nedd zu b'riggsischdische. Ausde Forml komma awwa seje, dass des bloß donn geje ded, wonn $P(A)$ unn $P(B)$ zumindeschd u'gfehr glaisch groß wern unmase donn inde Forml rauskerze kennd.

Gugschd a uff

• Prävalenzfehla